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무한을 넘어서

수학의 우주, 그 경계를 찾아 떠나는 모험

유지니아 쳉 지음| 김성훈 옮김| 열린책들 |2018년 11월 12일 (종이책 2018년 10월 10일 출간)

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    출간일 2018년 11월 12일 (종이책 2018년 10월 10일 출간)
    포맷용량 ePUB(27.34MB, ISBN 9788932966250)
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    • 국립중앙도서관 사서 추천도서 > 2019년 2월 추천도서 > 2019년 2월 추천도서
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목차

프롤로그

1부 무한으로의 여행
1. 무한이 무엇인지
2. 무한을 갖고 놀기
3. 무한이 무엇이 아닌지
4. 다시 멀어지는 무한의 정체
5. 무한까지 세기
6. 무한보다 더 큰 무한
7. 무한 너머까지 세기
8. 무한의 비교
9. 무한의 정체

2부 무한의 풍경
10. 무한은 어디에?
11. 거의 무한한 것들
12. 무한 차원
13. 무한 차원 범주
14. 무한히 작은 값
15. 무한에 수학이 거의 붕괴될 때(당신의 머리도)
16. 무한의 기묘함
17. 무한이 있는 자...

저자소개

저자 : 유지니아 쳉

관심작가 등록
저자 : 유지니아 쳉
셰필드 대학교 순수수학과 명예 선임연구원이자 시카고 아트 인스티튜트 스쿨의 전속 과학자다. 케임브리지 대학교에서 수학했고, 이후 케임브리지 대학교, 시카고 대학교, 나스 대학교에서 박사후과정을 거쳤다. 그녀는 세상에서 수학 공포증을 몰아내는 것을 인생의 사명으로 삼고 있다. 〈스콘에 들어갈 크림의 완벽한 양을 재는 방정식〉과 〈완벽한 크기의 피자를 만들기 위한 수학 공식〉 등 그녀가 발표한 기상천외한 논문들은 그 일환이다. 그녀의 강의는 2007년 유튜브를 통해 대중들에게 공개된 이후 100만 뷰를 돌파했으며, 대중 수학자로서 자신의 이름을 널리 알리는 계기가 되었다. 본업인 수학자로서뿐 아니라 그녀는 다방면에서 특출 난 재능을 보여 주고 있다. 수준급인 요리 실력은 물론, 어학에서도 불어, 영어, 광둥어를 구사한다. 특히 빼어난 피아노 연주 실력으로 유명한데 2005년부터 시카고를 중심으로 여러 무대에 서고 있다. 저서로는 『π 굽는 법How to Bake Pi』과 『논리의 기술The Art of Logic』이 있다.

역자 : 김성훈
치과 의사의 길을 걷다가 번역의 길로 방향을 튼 엉뚱한 번역가. 중학생 시절부터 과학에 대해 궁금증이 생길 때마다 틈틈이 적어 온 과학 노트가 지금까지도 보물 1호이며, 번역으로 과학의 매력을 더 많은 사람과 나누기를 꿈꾼다. 현재 바른번역 소속 번역가로 활동하고 있다. 『음식을 처방해드립니다』, 『늙어감의 기술』, 『도살자들』, 『숙주 인간』, 『범죄의 책』, 『우연의 설계』, 『세상을 움직이는 수학 개념 100』 등 다수의 책을 우리말로 옮겼다.

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역자 : 김성훈

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출판사서평

기묘한 힐베르트 호텔

쳉이 무한의 정체를 탐색하기 위해 길잡이로 삼은 것은 힐베르트 호텔이다(무한에 대해 생각할 때 일어날 수 있는 이상한 일들을 보여 준 수학자 다비트 힐베르트에게서 따온 이름이다). 객실이 무한히 많은 호텔을 상상해 보자. 이 객실의 방 번호는 자연수 1, 2, 3, …… 등등으로 무한히 이어진다. 이제 당신이 이 호텔의 지배인이고, 객실이 다 찼다고 상상해 보자. 하지만 또 다른 손님이 도착해서 방을 달라고 할 때 당신은 어떻게 할 것인가? 답은 의외로 간단하다. 이미 들어와 있는 투숙객들에게 방을 한 칸씩만 옮겨 달라고 하면 그만이다. 현실의 호텔에서는 객실이 다 차면 또 다른 손님이 찾아와도 손쓸 방법이 없지만, 무한 호텔에서는 1번 방 손님을 2번 방으로, 2번 방 손님을 3번 방으로, 이렇게 방을 한 칸씩 옮길 수 있다. 그냥 〈n번 방〉 손님에게 〈n+1번 방〉으로 옮겨 달라고 하면 된다. 객실이 무한하기 때문에 이렇게 하면 1번 방에 새로운 손님을 받을 수 있다.
하지만 추가로 무한한 수의 손님이 찾아온다면? 그냥 무한한 칸만큼 방을 옮겨 달라고 해서는 이 문제를 해결할 수 없다(〈1+∞〉번 방? 이런 식으로는 곤란하다. 이것은 방 번호가 아니기 때문이다. 각각의 방 번호는 유한한 수로 표시되어야 한다). 여기서는 조금 더 똑똑해질 필요가 있다 이 경우에 모든 투숙객들에게 원래의 방 번호에 2를 곱한 방으로 옮기라고 할 수 있다. 그럼 1번 방 투숙객은 2번 방으로, 2번 방 투숙객은 4번 방으로, n번 방 투숙객은 2n번 방으로 옮겨 가게 된다. 기존의 투숙객들은 모두 방 번호가 두 배로 늘어나니까 결국 짝수 번호의 방에 들어가게 된다. 그럼 홀수 번호의 방은 이제 모두 비었다는 말이고, 홀수는 무한히 많다. 자, 드디어 무한한 수의 손님의 방 배정도 끝냈다!
이런 식으로 우리는 〈정수〉 무한 호텔, 〈유리수〉 무한 호텔의 모든 손님들을 〈자연수〉 무한 호텔로 마법처럼 옮겨 놓을 수 있다. 이 성공에 우쭐해진 당신은 마치 천하무적이 된 듯한 기분이 들고, 어떤 호텔의 손님들이라도 힐베르트 호텔에 모두 수용할 수 있을 거라 생각할지도 모르겠다. 그러나 〈무리수〉 무한 호텔이 등장하면 이야기가 달라진다. 과연 무리수 π번, 0.9999……번 방에 있는 손님들을 어떻게 통째로 자연수 방 번호로 이뤄진 힐베르트 무한 호텔로 옮겨 올 수 있을까? 결국 무슨 짓을 해봐도 힐베르트 호텔에 수용할 수 없는 무언가가 존재한다. 이 점이 무한의 비밀의 문을 여는 첫 번째 열쇠가 된다.

무한의 정체를 찾아서

무한을 그저 상상할 수 있는 어떤 수보다도 큰 수라고 정의하려는 순간, 이런 간단한 정의로는 무한을 파악하는 데 어려움이 생긴다는 걸 깨닫는다. 무한이 일반적인 수일 수는 없다. 유한한 수에 적용되는 평범한 연산 규칙이 무한에서는 통하지 않기 때문이다. 무한에 무언가 덧붙인다고 해서 더 커지는 게 아니라는 우리의 상식을 수식에 적용한다고 해보자. 곧 ∞+1=∞일 테고, 양변에서 ∞을 빼면… 맙소사, 1=0이 된다(본문 60~61면). 무한을 제대로 이해하려면, 우리가 보통 아무 의심 없이 사용해 온 수(數) 체계는 물론, 더하기, 빼기, 곱하기, 나누기 등의 연산에 대한 기본적인 개념부터 캐묻기 시작해야 한다. 한마디로 〈무한〉을 알려면 수의 본질을 알아야 한다. 자연수는 무엇인지, 정수, 유리수, 무리수는 무엇인지, 그리고 일, 이, 삼…… 숫자를 센다는 게 정확히 무엇을 의미하는지 처음부터 다시 시작해야 한다.
수학에서 센다는 것은 단순히 〈하나, 둘 셋, 넷…〉 큰 소리로 수를 소리 내어 읽는다는 의미가 아니다. 어떤 집합의 대상들을 수를 정의하는 또 다른 〈공식〉 집합의 대상들과 짝짓는 과정이다. 쳉은 〈주머니〉(집합) 비유를 통해 자연수를 정의해 나간다(본문 92~105면). 예컨대 손가락을 생각해 보자. 만약 우리가 다른 집합 대상들(이를테면 사탕)을 우리 손가락 하나하나(이것을 〈공식〉 집합이라고 가정한다)와 일대일로 짝지을 수 있다면, 그것으로 우리는 사탕이 열 개 있음을 알 수 있다. 이 개념을 발전시켜 우리는 무한 안에 〈자연수〉라는 가장 초보적인 수준의 〈공식 수 주머니〉를 만들 수 있다. 이 수 주머니

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